1. 引言
近四十年来,人工神经网络因其在联想记忆、平行计算、模式识别、信号处理及优化问题等方面的重要理论价值及应用价值,被广泛关注,并逐渐成为极其活跃的研究热点 [1] [2] [3] 。
根据基本变量选择的不同,连续型递归神经网络可以分为局域神经网络和静态神经网络两大类 [4] 。局域神经网络模型的基本形式为
(1.1)
其中
表示神经元的内部状态,n是神经元的个数,
表示神经元j到神经元i的连接权重,
表示神经元j的信号函数,
表示神经元i的外部输入函数。
静态神经网络模型的基本形式为
(1.2)
其中
表示神经元的外部状态,余下的符号意义与模型(1.1)相同。
Hopfield模型、双向联想记忆模型和CNNs模型都属于局域神经网络模型,局域神经网络模型(1.1)已被广泛研究,得到了很多深刻的理论结果。递归反向传播网络、BCOp网络、BSB网络的模型则属于静态神经网络,具有重要的应用意义,但相比之下,静态神经网络模型(1.2)的研究则较少 [5] 。
由于时间滞后效应在神经传导及信号传递过程中均不可避免,因此,时滞神经网络的动力行为研究更具现实意义。而S-分布时滞包含了离散与连续时滞两种情形 [6] ,所以,S-分布时滞就具有更一般的意义。近年来,关于时滞静态神经网络动力行为研究的结果并不多见 [7] [8] [9] 。综上,本文将考虑一类S-分布时滞的静态神经网络,采用对构成神经网络本身函数特征的考察,及建立合适的微分不等式的方法,给出这类S-分布时滞的静态神经网络全局指数收敛于零的判别法,并通过实例验证了所得结论的有效性。
2. 主要结果
考虑如下一类S-分布时滞静态神经网络模型
(2.1)
其中
为连续函数,表示在与神经网络不联通且无外部附加电压差情况下第i个神经元恢复孤立静息状态下的速率,
是
上关于
单调不减的有界变差函数,其余符号的意义与模型(1.2)相同。
为方便,记
,对于
定义
。以
表示定义在
上的n维连续向量函数空间。
表示
上的n维连续向量函数空间。
表示模型(2.1)的一个满足初始条件
(2.2)
的解,其中
。
为后面证明方便,给出以下假设:
(H1)
。
(H2)
是Lebesgue-Stieltjes可积的,且
。
(H3) 存在
,使得
。
(H4) 对任意的
,存在
,满足
且
。
(H5)
。
定理2.1. 若条件(H1)~(H5)成立,则模型(2.1)的解在
上整体存在。
证明:设
是模型(2.1)满足初始条件(2.2)的解。
令
则有
(2.3)
当
时,有
(2.4)
将(2.4)式两边乘以
,再从
到t求积分,得
(2.5)
由(2.5)式、初始条件(2.2)、条件(H1)~(H5),得
(2.6)
得,
(2.7)
从而,
(2.8)
y有界,因此模型(2.1)的解不会发生爆破,在
上整体存在。
定理2.2. 假设条件(H1)-(H5)成立,则对于系统(2.1)满足初始条件(2.2)的任意解
,
全局指数收敛到0,即存在常数
,使得对
,有
证明:令
。当
时,对任给的
,由
的定义及
,有
从而,
(2.9)
其中
充分大,使得
下面证明,对任意的
,有
(2.10)
反证,若不然,则存在
,使得
(2.11)
且对
,有
(2.12)
注意到,对
,有
从而,当
时,利用(2.9)和(2.12)式,以及条件(H1)~(H5),有
此与(2.11)式矛盾,故(2.10)式成立,即对任意的
,有
从而,也有
其中
。即
。
3. 例子
例3.1. 考虑如下S-分布时滞静态神经网络
(3.1)
其中
,
为
上的连续函数,
。
显然,这里
,故
。
,取
,故
,
。且有
,
。
取
。对
有
成立,即满足
。且容易验证
成立。
上述计算表明,模型(3.1)满足条件(H1)~(H5),故由定理2.2知,系统(3.1)的解全局指数收敛到零向量
。
注3.1. 本文没有采用文献中常见的变换
及计算Lyapunov函数的Dini右上导数的方法来讨论Hopfield神经网络模型的指数收敛性 [10] [11] [12] ,而是通过针对模型本身的构成函数的特点,给出保证网络全局指数收敛性的充分性条件,提供了一种新的研究方法。