1. 引言
考虑以下非线性椭圆型边界值问题
(1)
其中,
是p-拉普拉斯算子且
,
是
中带有光滑边界的有界区域,
是参数,函数
满足以下条件:
f1)
a.e.
;
f2)
a.e.
;
f3) 存在常数
使得
,
都成立。其中,
且
;
f4) 当
时,
;当
时,
,s. t.
a.e.
;
f5) 当
,
时,
;当
,
时,
。
方程(1)是一类重要的非线性椭圆问题,因此被广泛研究,如文献 [1] - [6] 。文献 [1] 在以下条件下讨论了方程(1)解的存在性;
f2')
a.e.
,其中l是常数。
若
满足条件(f2'),则称
在无穷远处是渐近线性的;若
满足条件(f2),则称
在无穷远处是超线性的;很明显(f2)和(f2')是不相容的。
文献 [2] [3] 在
,
在无穷远处是超线性的情况下讨论了方程(1)的非平凡解。文献 [4] [5] [6] 针对一般的
以及超线性条件证明了方程(1)的正解的存在性。其中文献 [6] 给出了以下条件:
f1')
a. e.
,其中
为常数,
满足
,都有
,且存在某正测集
使得
a. e.
,
是
的第一个特征值。
明显地,条件(f1)和(f1')是矛盾的。本文将在(f1)~(f5)的条件下,证明方程(1)至少存在两个正解。
2. 预备知识
定义:设E为实Banach空间,
。如果使得
有界,且
的任一序列
都有一个收敛子列,则称泛函I满足(C)条件。
以下是本文将要用到的一个变形的山路引理,其证明见文献 [7] 。
山路引理:设E为实Banach空间,其对偶空间为
,
,且存在
及
,使得
。
记
,其中
为连结0与e的道路的集合。则存
在序列
,使得
,且
。
3. 主要结果及其证明
定义如下的
泛函:
,
。
则
,且寻找方程(1)的非平凡解等价于寻找泛函
的非零临界点。
命题1:设函数
满足条件(f4),(f5),则
, s. t.
,有
。
证:由
及条件(f4),(f5)成立,则存在常数
,使得
。
则
。 (2)
所以由(2)式及Sobolev不等式,有
(3)
其中
为常数。因为
,令
足够小,使
。
则由(3)式,
。
命题2:设函数
满足条件(f2),(f5),则存在
且
,使得
。
证:由条件(f2),(f5),则
,s. t.
,
。
则
,
。
设
是
对应的正则特征函数,则
. (4)
在(4)式中令
,则
,
由
是任意的,故当
时,可得
。
从而,
。
所以当
充分大时,
且
,s. t.
命题3:设函数
满足条件(f2),(f3),(f5),则
满足(C)条件。
证:令
满足
,且
. (5)
则
,从而
. (6)
下证
有界。若不然,假设存在
的子序列(仍记为
),使得当
时,
。令
,则
。从而存在
及
的子序列(仍记为
),使得当
时,有
在
中;有
在
中;
a.e.
. (7)
易见,
和
有类似于(7)的收敛性,其中
。
若
。选取一个实数序列
,使得
。对任意的正整数k,定义
,因为
,则
。 (8)
因为
,则当n充分大时,
。由
的定义及(8)式,得
。
故
。 (9)
由条件(f5)知,
,则
。又因为
,则当n充分大时,
。因此
(10)
但由
,则
。从而由(9),(10)式及条件(f3),有
这与(6)矛盾。
若
,由
,则当
时,
a.e.
。由条件(f2),则
a.e.
。 (11)
由条件(f5)及(5)式,有
,
则
。
由
,Fatou引理及(11)式,有
。
这显然是一个矛盾。
综上,
有界。由Sobolev紧嵌入及标准化方法,可知
存在一个收敛子列,即
满足(C)条件。
定理4:设函数
满足条件(f1)~(f5),则对每一个
,方程(1)至少存在两个正解。
证:由命题1~3及变形的山路引理,可知
有一个临界点
满足
。
由
,则
。又因为
,
则
,故
。从而由强极大值原理知
a.e.
。由命题1,s. t.
,
。
下证
。事实上,由条件(f1)及
知,当
足够小时,有
。
故
.
从而由欧拉变分原理,
,
。
所以
且
。
因此,
是
在
上的一个局部极小值,从而是方程(1)的解。由于
.
故
且
。由条件(f5)及极大值原理知,
a. e.
。故方程(1)至少有两个正解
和
。
基金项目
国家自然科学基金项目(11401357);陕西省教育厅科研基金项目(17JK0145)。