1. 引言
积分方程在数学物理的许多分支中出现,如弹性、湿热弹性、流体力学和断裂力学等。因此,解决线性或非线性积分方程的数学理论和数值解是很重要的。本文考虑Hammerstein型的非线性积分方程
,
, (1)
是
上的已知函数,
是在给定内核
上需要被解的未知函数,是非线性形式
的已知函数,非线性积分算子
被定义为
,
, (2)
之后等式(1)可以被写成算子的形式
,
, (3)
这里I表示单位算子,由文献 [1] [2] [3] [4] [5] 可知函数
和
在不同的假设条件下Hammerstein型积分方程解的存在性和唯一性引起了很多关注。文献 [6] 将Petrov-Galerkin方法推广到求解非线性的Hammerstein型积分方程。文献 [7] 采用Toeplitz矩阵方法对Hammerstein型的非线性积分方程进行了数值求解。
本文的目的是为Hammerstein式的非线性积分方程(1)提供一种新的数值方法。基于泰勒级数展开和分段逼近的思想,给出了Hammerstein型非线性积分方程的离散化方案,进一步分析了逼近解的收敛性和误差估计。数值结果表明了该方法的有效性。
2. 一种新的数值方法
在假设条件
和
下,在等式(1)的两边对x积分n次,得到
,
, (4)
这里
在给出一种新的数值方法之前,我们需要考虑(4)式中一系列的Hammerstein式积分方程解的存在性和唯一性。我们有下面的定理:
定理1:假设
是一个Hilbert空间且
和
,
算子
被定义为
和
假设算子
满足Lipschitz条件如下
常量
,之后等式(4)在Hilbert空间
有唯一解。
证明:假设
然后等式(4)被改写为
对于
,我们有
这里算子
是收缩算子。基于Banach不动点定理,方程
在
上有唯一解
,并且
满足
,
。
为了求解(1)的数值解,选择一系列正交点
且
。积分算子
能进一步被一系列积分算子的和表示,即
, (5)
此外,为了方便我们采取等距正交分点,即
,
,
, (6)
通过引进变量ξ和
,等式(5)能进一步表达为
, (7)
现在假设
能被表达为以下的Taylor级数展式
, (8)
是Lagrange余项且
,
, (9)
因此算子
近似为
, (10)
类似的,我们有
, (11)
,等式(11)进一步近似表达为
, (12)
从方程(10)和(12)可以构造Hammerstein型非线性积分方程的离散化格式为
, (13)
和
。此后
意味着变量
和近似值
替代精确值
。一般可以用迭代法求解非线性系统(13),一旦
的非线性系统被解决,我们就可以获得
的数值解
其中
和
。
的近似解可以进一步给出
, (14)
其中
。
采用分段逼近和Taylor级数的思想来展示(14)的近似解。显然,当n较大时,非线性系统(13)将是复杂的,一般情况下,我们可以选择
或2和一个较大的m去获得精确解的一个比较好的近似解。
3. 收敛性和误差估计
这一部分,近似解的收敛性和误差估计是重点。首先,我们给出一个引理如下:
引理1:如果有以下条件
,
满足
,
,
(15)
对于一个固定的n,
,
, (16)
其中
。
证明:运用等式(7) (10) (11) (12)得到
(17)
在考虑
的情况下,当
时我们有
,对于一个固定的n,当
时有
。因此引理得证。
另一方面,算子
的一个序列数值积分被定义为
, (18)
基于引理1,可以很容易得到
(19)
另外,我们重写等式(13)为
, (20)
这里
,
,
,
和
,
其中
和
。
并且,从等式(4)和(8),可得到
, (21)
这里
,
,
和
,
,
,
现在假定非线性系统(13)有唯一解,可以使用迭代法 [8] 并满足以下收缩条件
, (22)
其中
。之后应用等式(20)和(24)得
, (23)
进一步得
, (24)
这里
。
把式(24)代入式(19)得
, (25)
从式(25)可知当
,
或对于固定的一个n当
时,总有
。最后,基于以上分析,我们有下面定理:
定理2:如果有以下条件
,
,
,式(14)的近似解
收敛到精确解
。即得
,
,
对一个固定的n有
,
此外,还可以得到以下误差估计
,
其中
。
定理2表明,可以选择
和n的两个可行值来得到精确解的近似解。
4. 数值结果
在此基础上,通过数值算例,验证了所提方法的有效性,并与已有的结果进行了比较。
例: [9] [10] 给出Hammerstein式的非线性积分方程
, (26)
其中
精确解为
。我们选择
和
,可得
, (27)
和
, (28)
而且,我们可以计算
, (29)
其中c是常数。因此,在实际计算中,假设
是可行的。为了比较,我们进一步选择
和
进行数值计算。
从表1可以看出,随着m和n的增加,近似解和精确解的误差在减小。
Table 1. The error of the approximation and exact solutions | φ ( x ) − φ m , n ( x ) |
表1. 近似解和精确解
的误差
基金项目
广西自然科学基金(2016GXNSFAA380261),广西研究生教育创新计划项目(No. YCSW2017048)。