1. 引言
在决策中,影响决策对象的因素常具有模糊性。为了对模糊决策对象进行排序,迫切需要考虑模糊数上的近似大于、近似等于以及近似大于等于等基本关系。
Buckley [1] [2] 率先提出了一维模糊数近似大于、近似等于以及近似大于等于关系的概念,并将其应用于具有模糊性决策对象的排序中。吴望名在 [3] 中提出了一维模糊数相容的概念。王绪柱在 [4] 中针对Buckley在文 [1] 中提出的近似相等关系给出了易于判定的充要条件,并讨论了一维模糊数近似相等的性质。但是,在实际应用中,一维模糊数往往无法满足需求。因此,王桂祥、吴从炘在 [5] 中提出了n-cell模糊数的概念,n-cell模糊数是一种特殊的n维模糊数,同时也是对一维模糊数的推广。王桂祥及其团队 [5] [6] 将n-cell模糊数应用于分类、模式识别、信息融合等领域中,受到了广泛的关注,因此,讨论n-cell模糊数上的近似大于等于关系也是非常重要的。
本文引入了n-cell模糊数上的近似大于等于关系,并详细讨论了这一关系的性质,我们的结论对n-cell模糊数排序问题的相关理论和应用有着重要的意义。
2. 预备知识
本节介绍了n维模糊数和n-cell模糊数的基本概念和性质,以及n-cell模糊数的代数运算,详细内容请读者参阅文献 [7] [8] [9] [10] 。
设u是
上的模糊集,u可看作
的函数。任取
,我们称
是u的a-截集,当
,
,当
,
。
也称为u的支集,记作suppu。
若
满足以下性质(1)-(4):
1) u是正规的模糊集,即存在
使得
;
2) u是凸模糊集,即对任意
有
;
3) u是上半连续函数,即
;
4)
有界。
则称u为n维模糊数,全体n维模糊数记作
。
用
表示
中的点
,用表示模糊集
,
在不引起混淆的情况下,我们也用
表示
,此时对任意的
,
。
王桂祥在 [5] 中引入了n-cell模糊数的概念:设
,若对任意
,
,其中
且
,则称u是n-cell模糊数。记
为
上全体n-cell模糊数,显然
,且
。
设
,若
,则称u为正n-cell模糊数;若
,
,则称u为负n-cell模糊数。
N-cell模糊数的代数运算如下:对任意
,有:
(其中
为正n-cell模糊数或负n-cell模糊数)。
容易看出
。
Buckley在 [1] 中给出了一维模糊数近似大于等于关系的概念:
对任意两个模糊数
,任取
,定义
。
1) 若
且
,则称
在
水平下近似大于
,记为
或
;
2) 若
,则称
与
在
水平下近似相等,记为
;
3) 若
或
,则称
在
水平下近似大于等于
,记为
或
。
3. N-Cell模糊数上近似大于等于关系的性质
本节将引入n-cell模糊数上的近似大于等于关系,并探讨该关系在加、减、乘、除以及数乘运算下的变化。
定义3.1:设
,
,若
,则称
在
水平下近似大于等于
,记作
或
。
性质1:设
,
。若
,则
。
证明:由于
由
知:
。则
所以,
。
性质2:设
,
。若
,则
1) 若
为正,则
;
2) 若
为负,则
。
证明:(1) 因为
为正,则
。所以,
由
知:
。则
因此,
所以,
。
(2)证明与(1)类似。
性质3:设
,
。若
,则对任意
有
1)
;
2)
。
证明:(1)由于
由
知:
。则
因此,
所以,
。
(2)由于
,结论可从(1)推出。
性质4:设
,
。若
,则对任意
1) 若
为正,则
;
2) 若
为负,则
。
证明:(1)因为
为正,则
。所以,
由
知:
。则
因此,
即,
所以,
。
(2)证明与(1)类似。
性质5:设
,
。若
,则
1) 若
为正,则
;
2) 若
为负,则
。
证明:1) 因为
为正,则
。所以,
由
知:
。则
因此,
即,
所以,
。
(2)证明与(1)类似。
性质6:设
,
。若
,则
1) 若
为正,则
;
2) 若
为负,则
。
证明:(1)因为
为正,则
。所以,
由
知:
因此,
所以,
。
(2)证明与(1)类似。
性质7:设
,
。若
,则对任意
有
1) 若
,则
;
2) 若,则
。
证明:1) 因为
,所以,
由
知:
。则
因此,
所以,
。
(2)证明与(1)类似。
性质8:设
,
,
。若
,则
1) 若
,则
;
2) 若
,则
。
证明:(1)因为
,所以,
由
知:
因此,
所以,
。
(2)证明与(1)类似。
基金项目
福建省自然科学基金(No. 2016J01022)。