1. 引言
本文,我们主要讨论无穷区间上奇异边值问题(BVP)正解的存在性:
(1.1)
其中
,
是连续函数并且允许在
的点奇异;
且
在
上大于0,
;
,
由于其强大的应用背景,无穷区间上的边值问题已经引起人们越来越多的兴趣 [1] [2] [3] [4] . Zima [5] 研究了没有奇异项的下述方程:
其中
,
是非负连续函数且
,
,
是连续函数。类似于文 [5] 中的边值条件,Hao等 [6] 建立了下面微分方程正解的存在性理论:
(1.2)
其中
是连续函数且
,
连续并且允许在
点奇异。文 [7] 中的作者研究的是方程
在BVP(1.1)中,当
时的情况,应用Krasnosel-skii不动点理论,文 [8] 获得了
时方程(1.2)正解的存在性。
受以上文章的启发,本文讨论奇异BVP(1.1)的正解。与文 [5] [6] [7] [8] 相比,一方面,本文研究的是无穷区间上具有一般边值条件的奇异微分方程;另一方面,本文中,我们使用逼近的方法,通过建立特殊的空间和特殊的锥,利用锥上不动点定理,来解决奇异性与无穷区间所带来的困难。
本文的主要目的是获得BVP(1.1)正解的存在性。一般来说,我们通过求解一个积分算子
的不动点来解决,本文中,我们获得的是无穷区间
上BVP(1.1)正解的存在性,即
的定义域从有限区间推广到无穷区间。其中的主要困难是证明
是一个全连续算子,由于在无穷区间
上,Ascoli-Arzela失效,关于无穷区间上的算子紧性的判断准则(引理2.2)可以帮助我们解决这个问题。
2. 预备知识
记
引理2.1 [8] :假设条件
成立且
,则
(2.1)
对任意的
,BVP(2.1)有唯一解且此唯一解可以表示为
其中
(2.2)
注2.1:由(2.2)定义的
有下列性质:
(1)
在
上连续;
(2) 对任意的
,
在
上连续可微(
点除外);
(3)
;
(4) 对任意的
,
在
上除
点外满足与其对应的齐次方程(BVP(2.1)
)即
是BVP(2.1)的Green’s函数;
(5)
;
(6)
;
(7) 对任意的
,
,存在
,满足
,
。
(2.3)
显然,
是Banach空间,
,
,
(见 [9] )令
易知
是
中的一个锥。
类似于文 [9] [10] ,下面的引理2.2成立:
引理2.2:假设
,若
满足下列条件:
(1)
在
中一致有界;
(2) 函数
在
上局部等度连续;
(3) 函数
在
处一致收敛,则称
在
中是相对紧的。
引理2.3 [11] [12] :假设
是Banach空间
中的正锥,定义
,
,
令
是全连续算子,如果下列条件成立:
(1)
;
(2) 存在
,使得
,则
在
存在不动点;
注2.2:假设条件(1)在
且条件(2)在
上分别成立,则引理2.3的结论仍然成立。
3. 主要结果
(H1)
是连续函数并且满足
,其中
连续且在
点奇异,
在
上不恒为0,
是连续函数,对任意的
,
属于
上的有界集,
有界。
(H2)
根据以上假设,定义积分算子
:
(3.1)
显然BVP(1.1)有解
当且仅当
是由(3.1)定义的算子
的不动点。
引理3.1:假设条件(H1) (H2)成立。则
是全连续算子。
证明:首先,我们证明
是有定义的且
。对任意固定的
,存在
有
,即
。由条件(H1)易知
,
。因而,由条件(H1) (H2),对任意的
,有
(3.2)
(3.3)
由(3.2)和(3.3)可得
。由
的性质对任意的
,有
(3.4)
由(3.4)可知,
。因此,
。
其次,对任意的自然数
,定义算子
:
(3.5)
下面,对
,我们将证明
是全连续的。首先证明
是连续的。假设
且
。由(3.5)和条件(H2)可知
其中
(由条件(H1)可得),
是一个实数并且
,
表示自然数集。
对任意的
,由条件(H2),存在充分大的
满足
(3.6)
(3.7)
由
,存在一个充分大的自然数
使得
时,对任意的
,有
(3.8)
由
在
上的连续性,对上述的
,存在
,对任意的
,
,当
时,有
(3.9)
由
,存在一个充分大的自然数
,使得
时,对任意的
,有
所以,由(3.9),当
时,对任意的
,可得
(3.10)
因此,由(3.6),(3.8)~(3.10),当
时,对任意的
,有
(3.11)
另一方面,类似于(3.11)的证明,结合(3.7),可得
。即对每一个自然数
,
是连续的。
下面证明,对每一个自然数
,
是紧的。假设
是
中的任意有界子集,则存在常数
,使得
。由(3.5),条件(H1)和(H2),对任意的
,有
其中
。因此,
一致有界。对任意的
,可得
即
在
上等度连续。由于
并且可以证明
,所以
一致收敛。由引理2.2,对每一个自然数
,
是全连续算子。
最后证明,
是全连续算子。对任意的
,即
,
,
。
其中
由此可知
即
是全连续算子。
定理3.1:假设条件(H1) (H2)成立,并且
满足下列条件
(H3)
则BVP(1.1)至少有一个解。
证明:由条件(H3)的第一个不等式,存在
满足
(3.12)
时,对任意的
,(3.12)同样成立。记
,对任意的
,有
,
,所以
对任意的
,
另一方面,由条件(H3)的第二个不等式,存在
满足
(3.13)
取
,
,
下面证明
(3.14)
否则,存在
,
,有
,由(3.13)和
可知
(3.15)
假设
,则
即
,所以(3.14)成立。根据以上的讨论,引理3.1和2.3,
有不动点
满足
。易知
是BVP(1.1)的正解。
类似于定理3.1的证明可得下面的定理3.2成立。
定理3.2:假设条件(H1) (H2)成立,并且
满足下列条件
(H4)
的定义同定理3.1。则BVP(1.1)至少有一个正解。
4. 结论
本文,我们主要讨论的是无穷区间上一类微分方程边值问题正解的存在性,其中BVP(1.1)中的非线性项
在
点是奇异的,文 [5] [6] 中的非线性项
限制了连续的条件下,而且我们所研究的方程中,
增加了导数项,这是在文 [5] [6] [7] [8] 中都没有涉及的,就要求在更为复杂的空间中,构造特殊的函数来讨论BVP(1.1),同时,相较于文 [5] [6] [7] [8] ,我们研究的边值条件更具有一般性,所以说,本文的结果,在一定程度上,改进和推广了许多已知结果。
基金项目
本文受到临沂大学大学生创新创业训练计划项目(201610452168)部分资助。