1. 引言
在1991年,Durret和Rogers [1] 对刻画聚合物形状变化的模型做了研究。在某种条件下,他们建立了一个解具有渐近性质的随机微分方程。
(1)
其中
是d维的标准布朗运动,
是Lipschitz连续的。如果
,且
,则
是由Diaconis和Pemantle [2] 研究提出的对一个过程的一个连续模拟。这个随机微分方程的轨道可以看作是聚合物模型。由于
是在其自身过去轨迹改变的环境中发展的,所以随机微分方程(1)定义成自交互扩散的,其中对函数
没有任何限定。若对任意的
,
,换而言之,若它更倾向于远离其之前到达过的位置,称之为自排斥的;对任意的
,
,换而言之,若它更倾向于回到其之前到达过的位置,称之为自吸引的。在1995年,Cranston和Le Jan [3] 扩展了该模型,对自吸引扩散作了介绍,并且研究了当
的两种情况:
和
。
本文,我们研究由a-stable Lévy过程驱动的带自排斥漂移项的Ornstein-Uhlenbeck过程的参数估计问题:
(2)
其中
是一个未知参数。
在这篇论文中,我们采用轨迹拟合和加权最小二乘相结合的参数估计方法。轨迹拟合法是Kutoyants [4] 第一次提出,并发展为连续扩散过程的极大似然估计。在 [5] 中研究了由a-stable Lévy过程驱动的Ornstein-Uhlenbeck过程的加权轨迹拟合估计。
为了得到我们要的估计量,需要作以下的介绍:
(3)
且
其中
方程(2)可以写成
令
是正的确定的(加权)函数。用
乘以上面的方程,得到
的加权轨迹拟合估计是使得以下式子最小
显然,当
取(4)时,上面的式子取最小值
(4)
本文结构如下:在第2节包含了整篇文章中涉及的基础知识的介绍,主要包括a-stable Lévy过程的随机积分和相关的矩不等式。在第3节分为两部分,首先,我们证明当
时加权拟合估计量
的相合性,即,当
趋于无穷时,
几乎必然收敛于
。其次,我们研究
的渐近分布。得到了
其中
是服从
且与
独立的随机变量。
2. 预备知识
在本文中我们用“P”表示“依概率收敛”,“⟹”表示“依分布收敛”。如果随机变量
满足以下形式的函数,则称该随机变量具有平稳分布,记作
:
其中
,
和
分别为平稳指数:尺度参数、偏态参数和位置参数。当
,称随机变量
为严格a-stable。若
,且
,则称
为对称的a-stable。当且仅当
(对称情形),称
为严格的1-stable (
)。
假设
是由三元组
生成的一个Lévy过程,则
的特征函数为:
(5)
其中
,
是Lévy测度
其中
,
,
且
。方程(5)可以写成形式
其中
且
由ItÔ-Lévy分解定理,有
其中
是泊松随机可测,定义如下
并且
,
表示
在时间s上的跳,
为补偿泊松随机侧度,定义如下
其中
ItÔ-Lévy分解也可写成如下的形式:
令
则有
记作
则
为a-stable Lévy运动,对任意的
,有
。我们可以标准化
,定义
,则
是标准的a-stable Lévy运动,
具有平稳分布
。显然,
且
。
3. 估计量的相合性和渐近性
本文中,我们假设
,
。我们讨论方程(2)是由一个a-stable Lévy过程
驱动,且
是一个可以通过观测X估计出的未知参数。由
(6)
可得
(7)
将(3)代入(6)得到(7)。由常数变易法,可得(7)的显式解为
令
因此,
是
有界的、右极左连的、
鞅(
),且有
此外,
是一个服从
是随机变量,其中
由于
当T趋于无穷,
收敛于一个a-stable随机变量,并且具有分布
。因此,根据鞅收敛定理,有
结合(3)和(4),我们可以得到
记
和
本文,我们总是假设加权函数
是给定的。当T取无穷时,对每个
和
,有
和
。为了给出加权轨迹拟合估计量的渐近性质,我们需要下面著名的Toeplitz引理(见Dietz 和Kutoyants [6] )。
引理 1 [5] :如果
是定义在
的概率空间测度,且
,当
时,对每个
有
,则对每个有界的可测函数
有
其中
为
的极限且存在。
3.1. 相合性
定理1:令
,当T趋于无穷时,有
证明:由Toeplitz引理,可得
其中
。因为
所以,再次利用Toeplitz引理,有
定理证明完毕。
3.2. 渐近性
下面,我们讨论估计量
的渐近分布。假设加权函数满足以下条件:
假设1:当T趋于无穷时,有
我们可以得到下面几个结果:
定理2:如果
且上面的假设成立,则有
其中
是服从
的随机变量,且独立于
。
证明:显然,有
(8)
运用Toeplitz引理,可得
因此,有
(9)
接,我们讨论
。记
由Toeplitz引理,可知
几乎必然。因此
(10)
对
中的第二个因子,有
我们可以得到以下几个结论:
(i) 随机变量
服从a-stable分布
,且当
时,随机变量弱收敛于一个具有平稳分布
的随机变量
。
(ii) 由强大数定律,有
(iii)
和
是相互独立的。
(iv) 显然有
(v) 当T趋于无穷时,有
依概率收敛于零。
证明:我们证明( v )。由
的定义,可得
因此,有
(11)
由于
对任意给定的
和常数
,当T趋于无穷时,上面的式子趋于零。可知,当T趋于无穷时,(11)收敛于零
由(i)、(ii)、(iii)、(iv)、(v),可以得到以下结论
(12)
其中
和
相互独立。结合(10)和(12)我们可以发现,当T趋于无穷时,有
(13)
最后,我们需要证明当T趋于无穷时,依概率有
。首先
显然
是几乎必然有限的。因此,上面的不等式的最后一项因子
依概率收敛于零。并且,当T充分大时,有
其中
。然后,由洛必达法则可得
(14)
因此,当T趋于无穷时,有
于是,当
,有
依概率。由(8)、(9)、(13)以及(14),可以得到以下结论:
其中
是一个服从
的随机变量,且独立于
。证明完毕。
我们考虑下面两个特殊的加权函数:
(i) 令
,有
(ii) 令
可得
基金项目
国家自然科学基金(No. 11571071);上海市教育委员会科研创新项目(No. 12ZZ063)。