1. 引言
在下文中,将使用Nevanlinna理论 [1] [2] [3] 的标准记号。对数导数引理刻画了对数导数的均值函数的上界,是亚纯函数值分布理论的核心定理之一。早在1976年,Gol’dberg和Grinshtein [4] 就研究了对数导数的均值函数的上界。他们得到了如下估计式:
(1)
其中
,
是一个亚纯函数且满足
。
形如式(1)的不等式称为Gol’dberg-Grinshtein型对数导数估计。其应用及如何改进常数5.8501,一直受到国内外专家学者的关注。Benbourenane和Korhonen [5] ,Kondratyuk和Kshanovskyy [6] 先后将不等式(1)中的常数5.8501改进为5.3078和4.8517。Heittokangas等人 [7] 则得到了不等式(1)包含高阶导数的形式。
我们首先证明如下的一般性结果:
定理1:设
在
内亚纯且
,其中
,则对所有满足
的
和
有
对于零点和极点都是实数的亚纯函数,我们将常数4.5206进一步缩小为3.8018,也就是如下定理:
定理2:设
在
内亚纯且
,其中
。如果
的所有零点和极点都是实数,那么对所有满足
的
和
有
2. 引理
引理1: [5] 如果
,
,
为非负实数,那么
引理2: [8] 假设
,
在
解析,对
,定义
如下:
如果
或
不变号,那么对任意满足
的
有
以下引理是Kolokolniov引理(见 [9] )的改进形式。
引理3: [5] 假设
,
内的有限复数列。对每个
,假设
并定义
则对任意满足
的
,
有
注意到,如果对每个
,
为实数,那么
,
,参考引理3的证明,可以得到以下结果。
引理4:假设
为有限实数列。对每个
,假设
并定义
则对任意满足
的
,
有
下面的引理是Jensen不等式的推论,证明见Kondratyuk [6] 。
引理5:如果在
,
且
存在,那么
3. 定理1的证明
设
,其中
。则
且
。将
在
内的所有零点、极点分别记为
和
,计算重数。由Poision-Jensen引理可得
对在圆周
上的零点和极点的细节处理,见文 [10] 的第11页。
对上式取模可得
注意到
和
,有
(2)
故由上述两个不等式可得
记
并在上式左右两边分别对
积分,有
(3)
对
应用HÖlder不等式并改变积分顺序可得
对常数函数1应用Poisson引理,得到
注意到
且
即可进一步得到
(4)
下面考虑
。记
,则有
由(2),可得
由于
,故
且
。因此我们可以应用引理3,得到
其中
由引理1,得
由
(5)
和
,得到
(6)
类似地,由(5)和引理3可得
(7)
由定理条件
和Nevanlinna第一基本定理,可知
。结合(3),(4),(6)和(7),有
其中
再次应用引理1,得
(8)
其中
对不等式(8)应用引理5,有
这个不等式的所有的
成立。经数学软件Lingo运算可知,
的最小值为4.5206,在
和
处取得。定理1证明完毕。
4. 定理2的证明
仿照定理1的证明,可知不等式(4)仍然成立。由于
均为实数,故对
的估计式中的
,从而
。这就给出
(9)
对
应用引理4,可得
(10)
再次应用引理1,结合(4),(9)和(10),可以推出
(11)
其中
不等式(11)对所有的
成立。经数学软件Lingo运算可知,
的最小值为3.8018,在
处取得。定理2证明完毕。
致谢
本论文得到广东省高等学校优秀青年教师培养计划项目(YQ2015089),广东自然科学基金项目(2015A030313620),广东海洋大学优秀青年教师培养计划项目(2014007,HDYQ2015006),广东海洋大学创新强校工程项目(gdou2016050209,gdou2016050206)的资助。