1. 引言
本文考虑如下中立型反应扩散方程
(1.1)
其中,,,是常数。存在常数使得。
发展方程的行波解是指形如(,)的形式不变解。此类解不仅揭示了方程本身的许多重要特性,在分析方程初值问题的行为特征中起关键性作用,还具有深刻的应用背景,如物理上描述状态由一个平衡态到另一平衡态的转移、种群生物学中刻画种群入侵、疾病传播动力学中传染源在空间中的传播等等。近二十多年来,研究发展方程,尤其是时滞反应扩散方程的行波解一直是个热点课题,备受众多学者的关注,如行波解的存在性 [1] - [13] 。
唯一性是研究行波解理论的又一重要且有趣课题。Diekmann和Kpper发展了一套方法证明了一类积分方程的行波解的唯一性 [14] 。其基本思想是先证明行波解在处的指数渐近性态,然后利用此渐近性态证明行波解在平移意义下是唯一的。此思想方法被进一步发展用以讨论非线性积分方程及可化为积分方程的非局部扩散方程 [15] 、一类涵盖多种带离散时滞发展方程 [16] 及具有分布时滞的反应扩散方程 [17] 的行波解的唯一性。其它研究发展方程行波解唯一性的方法及更多关于行波解唯一性的结果参考文献 [18] - [25] 。
当关于单调时,在适当假设下Liu和Weng利用线性变换、截断及无穷时滞有限逼近等方法得到了方程(1.1)的行波解及渐近播速的存在性,并得出渐近播速与行波解存在的最小波速是一致的结论 [26] 。据我们所知,这是第一个关于中立型反应扩散方程渐近播速和行波解的结果。但中立型反应扩散方程行波解的唯一性至今仍然是个开放性问题。
本文剩下部分的结构如下:在第2节将给出本文需要的预备知识,包括基本假设及直接应用Liu和Weng [26] 的结果得到的中立型方程(1.1)及其变换后的无穷时滞反应扩散方程的行波解存在结论;第3节先利用Ikehara定理得到了无限时滞方程单调行波解的指数渐近性态,进而得到唯一性;最后根据两类方程的解之间的联系得到了原中立型方程行波解的唯一性。
2. 预备知识
首先我们给出本文需要用到的假设:
(H1) 对任意,;对任意,;
(H2) 对任意,关于单调增加,且存在,使的对任意,,有
;
(H3),,,,且对任意的,有
,
其中,,;
(H4) 存在,使得,且对任意,有
(H5) 存在,使得对任意的,,存在唯一的,使得,且对任意,,对任意,;
(H6),,。
记
则根据文 [26] 中的Lemma 4.3,有
引理2.1. [26] 假设(H3)成立,则存在实数对使得:
(1);
(2) 对,当时,有;
(3) 对任意,存在,使得,,且对任意的,。
再由文 [26] 中的Lemma 4.6及Theorem 5.1,有如下关于方程(1.1)的行波解存在性结果,这里,。
引理2.2. [26] 假设(H1)~(H5)成立,则
(1) 对方程(1.1)的行波解存在,在上单调递增,且满足
,
(2) 对,方程(1.1)不存在行波解。
作变换,则且方程(1.1)变为无穷时滞反应扩散方程
(2.1)
易知(2.1)有平衡点及。
由文 [26] 中的Lemma 4.6、Theorem 4.1和Theorem 4.2,方程(2.1)连接平衡点及的行波解,由如下引理给出。
引理2.3. [26] 假设(H1)-(H5)成立,则
(1) 对方程(2.1)的行波解存在,在上单调递增,且满足
(2) 对方程(2.1)不存在行波解。
3. 行波解的唯一性
这节我们将证明方程(1.1)的行波解的唯一性,即
定理3.1.假设对,是方程(1.1) 满足
的单调递增行波解,在上单调递增,(H6)成立且,则存在,使得,,其中,。
注:文 [26] 是通过方程(2.1)的单调行波解结合变换得到方程(1.1)的单调行波解,这样在上单调递增。因此我们这里假设方程(1.1)的单调行波解使得在上单调是合理的。
为了证明定理3.1,需先证明方程(2.1)的单调行波解在平移意义下是唯一的,为此我们需要如下两个引理。
引理3.1.对,设是方程(2.1)满足
的单调行波解,则存在,使得对任意的,有
,。
证明:易知满足
(3.1)
重写方程(3.1)为
则
其中
(3.2)
(3.3)
显然,,,因此在上有界,从而
在上有界,即存在,使得,。
根据及在上的有界性知,对任意的,及在上是有界的。因此往下我们只需证明对某个及,及在上有界。
由于,因此。对任意的,对方程(3.1)两边从到积分得
。
由(H3),,,,所以存在,使得
对上述,存在,使得对任意的,有
又,所以存在,使得对所有的,有,从而对所有的,有
(3.4)
对任意的,,有
从而由(3.4)可得
令,由于收敛,故有
因此,在上可积。
定义
,,
则在上有定义,单调递增且。
根据(3.4),有
对任意的,对上式两边从到积分得
即
(3.5)
再对(3.5)式两边从到积分得
注意到
及,,,,有
对任意的及,有
记,取;记,则,;。取,则。定义,,则
因此,对,有。又,,故
根据(3.5),对,有
至此,证明了存在,使得对任意的,有
引理3.2.对,设是方程(2.1)的满足
的单调行波解,,则存在,使得
其中时,;时,。
证明:定义
由引理3.1知,对任意满足的复数,。由分部积分法,有
故有
(3.6)
一方面,因为,由Laplace变换的性质知,存在,在带形域上解析,而点是的奇异点。
另一方面,由(H4)知,对任意的,有
又因为,所以
从而收敛。因此,由引理3.1,有
这样在带形域上解析。类似于文 [17] 中Proposition 2.3 的证明,可得在带形域上解析,而在带形域上解析。
定义函数
.
因为时是方程单根,时是方程二重根,所以由(3.6)有
在带形域上解析,时,;时,。
又在单调递增,因此由Ikehara定理有
其中时,;时,。证毕。
引理3.3.假设(H6)成立。若,则对任意的,方程(2.1) 满足
的单调行波解在平移意义下是唯一的。
证明:对任意的,设是方程(2.1) 满足
的两个单调行波解。不失一般性,不妨设,由引理3.2,可定义函数
使得(必要时作适当的平移),从而存在,使得
由于,,且
因此,
由(H6),有
进一步地,有
注意到,因此有
从而可得
这意味着。令,则,即。证毕。
定理3.1的证明:设存在某个,使得对任意的,。令
则是方程(2.1)满足
的单调行波解。由引理3.3知,存在,使得,从而
这与假设矛盾,因此定理3.1的结论成立。证毕。
基金项目
感谢审稿人的认真审稿及提出的珍贵意见。本文受如下基金项目资助: 国家自然科学基金(No.11601180, 11501238),国家留学基金(No.201608440052),广东省自然科学基金 (No.2016A030310100, 2015A030313574, 2014A030313641),广东省教育厅青年人才创新项目(No.2015KQNCX155)。
参考文献