1. 引言
目前为止，研究人员们提出并发展了很多求解偏微分方程的方法，如Lie对称 [1] [2] 、Adomian分解法 [3] 、同伦摄动法 [4] [5] 、同伦分析法 [6] 、精确解方法 [7] [8] 等等。这些方法中，Adomian分解法(Adomian Decomposition Method-ADM)是由美国数学物理学家Georgie Adomian [3] 教授提出并发展起来的一种方法。该方法中假定方程的因变量和非线性项都能分解为级数。非线性项的分解式被称为Adomian多项式，段 [9] [10] 研究了Adomian多项式的计算方法的优化。Cherruault [11] 等人研究了Adomian分解法的收敛性问题。Wazwaz [12] 基于Adomian分解法考虑了奇异初值问题；D. Lesnic [13] 基于Adomian分解法考虑了广义Boussinesq问题；朱永贵 [14] 给出了Adomian逆算符方法，通过实现该算法的算例，验证了Adomian分解法的有效性。
Shidfar [15] 和Patel [16] 等人基于Adomian分解法针对矩形区域对应的偏微分方程的(初)边值问题进行研究，并提出了不同的算法。我们 [17] 对矩形区域对应的偏微分方程的(初)边值问题提出了分段带权Adomian分解法。
本文中基于Adomian分解法考虑三角形区域对应的偏微分方程的边值问题，即三角形地下水流区域上的异质含水层模型。地下水流区域上的异质含水层模型控制微分方程为：
(1)
其中
是水头函数
；
表示月平均降雨补给
；
表示含水层渗透系数
。设附加边界条件为
(2)
斜边
上：
(3)
(4)
其中
，
，
。
2. 地下水流区域上的异质含水层模型的分段Adomian近似解
将方程(1)改写成
(5)
其中，
。
步骤1：利用直线
与
先将区域
划分成如下三块，如图1所示
(6)
步骤2：在
上，在方程(5)两侧作用于
考虑边界条件
，并令
后得到
(7)
将函数
在原点Taylor展开，并记为：
其中
那么，有
(8)
(9)
由此，根据(7)-(9)构造循环公式，如下：
从这个循环公式得到
从而得到方程(5)与
的
项Adomian近似解
步骤3：在
上，在方程(5)两边作用于算子
同时考虑边界条件
，
，并令
后得到
根据(8)-(9)，构造循环公式
从这个循环公式得到(5)与
的
项Adomian近似解
其中
。
步4：在方程(5)两侧作用于
，同时考虑
与公式(8)-(9)，并令
后获得
从这个循环公式得到(5)与
的
项Adomian近似解
其中
。
最后归纳以上部分解得到整个区域上的分段近似解，如图2所示，
3. 结果分析
分段近似解
除了边界线
和
上的
两小段边界以外，
精确满足其余的所有的边界条件。为了表征
的近似程度，令边界误差为
运用余函数来表示近似解在区域内任意一点处的误差
利用
表征近似解的方程误差，其中
是
范数。本文中得到的三项分段近似解
的边界误差和方程误差分别为
，
。
Figure 2. Segmented three-terms approximate solution 
图2. 分段三项近似解
基金项目
内蒙古自治区面向基金项目(2016MS0109)，内蒙古自治区高等学校科研研究项目(NJZY094)，内蒙古工业大学重点项目(ZD201515)。
NOTES
*通讯作者。